高斯分布积分即二重积分和积分乘积的关系

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Created At : 2020-05-22 19:06

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高斯概率分布积分证明过程

高斯概率分布积分证明过程

写在前面

今天看书(PRML)的时候看到了高斯分布的一些性质，诸如概率大于0、概率积分和为1等，突然发现这个积分和为1并不是一眼看出（和本人是鶸有关），因此特地证明了一下，顺便回忆了一下二重积分的一些求法和性质，在这里记录一下。

证明过程

高斯分布定义：

$$f(x|\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$$

设，
$$
I=\int^{\infty}_{-\infty}{exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})}dx
$$

因此，

$$
I^2=\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}{exp(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}})dxdy
$$

这里用到了二重积分，因为x和y是两个独立变量，因此可以将定积分的乘积转换成二重积分，后续将补充一部分二重积分的知识。

将直角坐标转换成极坐标求解二重积分（利用雅可比行列式）：

$$
x=r\cos\theta \\
y=r\sin\theta
$$

因此，

$$
\begin{aligned}
I^2&=\int^{2\pi}_0\int^{\infty}_0{exp(-\frac{r^2}{2\sigma^2})}rdrd\theta \\
&=2\pi\int^{\infty}_{0}exp(-\frac{r^2}{2\sigma^2})(-\sigma^2)d(-\frac{r^2}{2\sigma^2})\\
&=-2\pi\sigma^2\int^{-\infty}_{0}{e^t}dt\\
&=2\pi\sigma^2
\end{aligned}
$$

所以，
$$
I=\sqrt{2\pi\sigma^2}
$$

所以，令$y=x-\mu$,

$$
\begin{aligned}
\int^{\infty}_{-\infty}f(x|\mu,\sigma^2)dx
&=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})dx\\
&=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{y^2}{2\sigma^2})dy\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot I\\
&=1
\end{aligned}
$$

证毕。